Что_такое_дискретизация_по_уровню

Что_такое_дискретизация_по_уровню

Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Содержание

Вводные понятия

Сигнал называют аналоговым, если он определен на непрерывной оси времени , и в каждый момент может принимать произвольные значения. Аналоговый сигнал может быть представлен непрерывной, или кусочно-непрерывной функции переменной . Пример аналогового сигнала показан на рисунке 1.

Если сигнал принимает произвольные значения только в фиксированные моменты времени , — целое число, то такой сигнал называется дискретным. Наиболее широкое распространение получили дискретные сигналы, определенные на равноотстоящей сетке , где — интервал дискретизации. При этом в моменты дискретизации дискретный сигнал может принимать произвольные значения. Если значения дискретного сигнала также берутся на фиксированной сетке значений, и при этом сами значения могут быть представлены числом конечной разрядности в одной из систем счисления, то такой дискретный сигнал называется цифровым . Часто говорят, что цифровой сигнал представляет собой квантованный по уровню дискретный сигнал. Примеры дискретного и цифрового сигналов также показаны на рисунке 1. Тонкая разница между дискретными и цифровыми сигналами дает возможность их отождествлять практически во всех прикладных задачах. Аналоговый сигнал может быть описан функцией времени, в то время как дискретный и цифровой сигналы могут быть заданы вектором отсчетов :

Указанные преимущества определили повсеместное распространение цифровых систем хранения и обработки сигналов. Но цифровые сигналы также имеют и недостатки по сравнению с аналоговыми.

Во-первых нет возможности передавать цифровые сигналы «как есть», поскольку передача сигналов чаще всего происходит при использовании электромагнитных и акустических волн, которые являются непрерывными во времени. Поэтому для передачи цифровых сигналов требуются дополнительные методы цифровой модуляции, а также цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП).

Другим недостатком цифровых сигналов является меньший динамический диапазон сигнала (т.е. отношение самого большого значения к самому маленькому), из-за квантования сигнала на фиксированной сетке значений.

Дискретизация аналоговых сигналов. Математическая модель дискретного сигнала

В данном параграфе мы рассмотрим способ выборки дискретных значений аналогового сигнала. Структурная схема устройства дискретизации показана на рисунке 2. Данное устройство называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП), потому что оно преобразует аналоговый сигнал в набор оценок дискретных значений , где — целое число, взятых через равноотстоящие промежутки времени .

Временны́е осциллограммы, поясняющие принцип работы устройства показаны на рисунке 3 (см. [1, стр. 475–476], или [2, стр. 438]).

На входе АЦП имеется аналоговый сигнал . Генератор импульсов формирует равноотстоящие стробирующие импульсы , которые управляют ключом, в результате чего на вход усилителя подаются короткие выборки сигнала длительности , взятые через интервал дискретизации .

Оценка дискретного сигнала может быть представлена в виде

Интегрируя на каждом интервале длительности стробирующего импульса получим оценку значения сигнала в момент времени . При конечной величине мы можем говорить об оценке значения сигнала в момент времени с некоторой погрешностью, ввиду изменения сигнала на интервале . Поэтому мы используем шапочку над обозначением , чтобы подчеркнуть приближенную оценку.

При уменьшении длительности погрешность оценки будет уменьшаться, и в пределе мы можем получить дискретный сигнал как:

Бесконечная сумма смещенных дельта-функций называется решетчатой функцией и обозначается [3, стр. 77]:

Тогда математической моделью дискретного сигнала будет произведение исходного аналогового сигнала на решетчатую функцию:

Графически модель дискретного сигнала , с использованием решетчатой функции показана на рисунке 4.

Для получения численных значений дискретного сигнала необходимо проинтегрировать дискретный сигнал (5) в окрестности :

В дальнейшем мы будем широко использовать данную модель дискретного сигнала для перехода от методов анализа и обработки аналоговых сигналов, к цифровым.

Размерность дискретного сигнала

Пусть исходный аналоговый сигнал описывает изменение напряжения во времени и имеет размерность вольт . Вспомним, что дельта-функция Дирака имеет размерность, обратную размерности ее аргумента. Тогда решетчатая функция , согласно (4) имеет размерность , а размерность дискретного сигнала (5) будет .

Заметим, что значения дискретного сигнала, полученные из (6) как результат интегрирования дискретного сигнала в окрестности момента времени , будут иметь размерность исходного сигнала .

Преобразование Фурье решетчатой функции

В данном разделе мы проанализируем спектральную плотность решетчатой функции . Для начала рассмотрим как периодический сигнал. Тогда можно представить в виде разложения в ряд Фурье:

Тогда (7) с учетом (8):

Выражение (10) представляет как бесконечную сумму комплексных экспонент.

Рассмотрим теперь преобразование Фурье решетчатой функции:

Поменяем операции интегрирования и суммирования и применим фильтрующее свойство дельта-функции:

Выражение (12) также представляет собой бесконечную сумму комплексных экспонент. Учтем, что и получим:

Таким образом, спектральная плотность решетчатой функции представляет собой также решетчатую функцию.

Период повторения дельта-функций в частотной области равен , при этом дельта-функции масштабируются в раз, как это показно на рисунке 5.

Читайте также:  Компрессор_воздушный_электрический_220в_25л

Заметим, что умножение на в частотной области изменяет размерность спектральной плотности , в результате чего спектральная плотность переходит в безразмерный спектр (что не удивительно, потому что исходная решетчатая функция — периодическая).

Спектральная плотность дискретного сигнала

Пусть дан аналоговый сигнал , спектральная плотность которого равна . В данном параграфе мы рассмотрим процесс равноотстоящей дискретизации сигнала в частотной области.

Преобразование Фурье дискретного сигнала (5) равно:

Применим свойство преобразования Фурье произведения сигналов, тогда представляет собой свертку спектральной плотности решетчатой функции и спектральной плотности исходного сигнала :

Уравнение (17) задает спектральную плотность дискретного сигнала как бесконечную сумму масштабированных копий спектральной плотности , отстоящих друг от друга на рад/с по частоте, как это показано на рисунке 6.

Заметим, что мы не накладываем никаких ограничений ни на интервал дискретизации , ни на сигнал , ни на спектральную плотность . Вне зависимости от частоты дискретизации рад/с, и формы , спектральная плотность дискретного сигнала всегда будет представлять собой сумму масштабированных копий , отстоящих друг от друга на величину частоты дискретизации рад/с.

Размерность спектра дискретного сигнала

Проанализируем выражение (17) на предмет размерности , в предположении, что исходный аналоговый сигнал имеет размерность :

Если аналоговый сигнал описывает изменения напряжения во времени и измеряется в единицах вольт, то при дискретизации аналогового сигнала, получим дискретные отсчеты, также измеряемые в вольт, и спектр дискретного сигнала также будет измеряться в единицах вольт. Тогда функцию мы можем назвать спектром, а не спектральной плотностью.

Главный вывод: преобразование Фурье дискретного сигнала не изменяет размерности дискретных отсчетов сигнала, в отличии от преобразования Фурье аналогового сигнала, которое возвращает спектральную плотность .

Выводы

В данном разделе мы ввели понятие дискретного и цифрового сигналов. Мы опеределили, что дискретный сигнал может быть представлен как результат произведения решетчатой функции и аналогового сигнала.

Были детально рассмотрены свойства решетчатой функции и показано, что спектральная плотность решетчатой функции также представляет собой масштабированную по амплитуде решетчатую функцию.

В результате свойств решетчатой функци получили, что спектральная плотность дискретного сигнала представляется бесконечной суммой копий спектральных плотностей исходного сигнала, отставленных дург от друга на величину равную частоте дискретизации.

Дискретизация

Дискретиза́ция (от лат. discretio — «различать», «распознавать») — в общем случае — представление непрерывной функции дискретной совокупностью её значений при разных наборах аргументов. Для функции переменной f ( x ) <displaystyle f(x)> — представление её множеством n <displaystyle n> её значений f ( x 0 ) , f ( x 1 ) , . . . f ( x n − 1 ) <displaystyle f(x_<0>),f(x_<1>). f(x_)> на заданном дискретном множестве значений аргумента x 0 , x 1 , . . . x n − 1 <displaystyle x_<0>,x_<1>. x_> .

В обработке сигналов — представление аналогового непрерывного сигнала S ( t ) <displaystyle S(t)> совокупностью его значений, эту совокупность принято называть выборками S ( t 0 ) , S ( t 1 ) , . . . S ( t n − 1 ) <displaystyle S(t_<0>),S(t_<1>). S(t_)> , взятых в моменты времени t 0 , t 1 , . . . t n − 1 <displaystyle t_<0>,t_<1>. t_> .

В общем случае период времени от одной выборки до следующей может различаться для каждой пары соседних выборок, но обычно при обработке сигнала, выборки следуют через фиксированный и постоянный промежуток времени. Этот промежуток в таком случае называют периодом дискретизации или интервалом выборок и обычно обозначается буквой T <displaystyle T> . Величину обратную периоду дискретизации F s = 1 / T <displaystyle F_=1/T> называют частотой выборок или частотой дискретизации [1] .

Примерами аналогового сигнала могут служить аудио- или видеосигналы, сигналы различных измерительных датчиков и др. Для последующей цифровой обработки аналоговые непрерывные сигналы обязательно предварительно подвергаются дискретизации и квантованию по уровню с помощью аналого-цифровых преобразователей.

Обратный процесс получения непрерывного аналогового сигнала заданного дискретной совокупностью его выборок называется восстановлением. Восстановление производится цифро-аналоговыми преобразователями.

Содержание

Теория [ править | править код ]

В математических терминах — дискретизация это умножение непрерывной функции s ( t ) <displaystyle s(t)> на функцию, называемую гребень Дирака Δ T ( t ) = d e f ∑ k = − ∞ ∞ δ ( t − k T ) <displaystyle Delta _(t) <stackrel <mathrm ><=>> sum _^<infty >delta (t-kT)> где T <displaystyle T> — константа — период дискретизации и δ ( t ) <displaystyle delta (t)> — дельта-функция Дирака:

s a ( t ) = s ( t ) ⋅ ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) . <displaystyle s_<mathrm >(t)=s(t)cdot sum _^<infty >delta (t-nT).>

Преобразование Фурье дискретной функции s a ( t ) <displaystyle s_<mathrm >(t)> даёт её спектр S a ( f ) <displaystyle S_<mathrm >(f)> . Согласно теореме Котельникова, если спектр S a ( f ) <displaystyle S_<mathrm >(f)> исходной функции ограничен, то есть спектральная плотность нулевая свыше некоторой частоты f m a x <displaystyle f_> , то исходная функция однозначно восстановима по совокупности её выборок, взятых с частотой дискретизации 1 / T ≥ 2 f m a x <displaystyle 1/Tgeq 2f_> .

Для абсолютно точного восстановления необходимо подать на вход идеального фильтра нижних частот последовательность бесконечно коротких импульсов каждый с площадью равной значению выборки.

Практически невозможно идеально точно восстановить реальные сигналы по выборкам, так как во-первых, не существует сигналов с ограниченным спектром, ибо реальные сигналы ограничены во времени, что обязательно даёт спектр бесконечной ширины. Во-вторых, физически нереализуем идеальный фильтр низких частот (sinc-фильтр), в третьих, невозможны бесконечно короткие импульсы с конечной площадью.

Читайте также:  Тесто_для_оладьев_без_кефира

Применение [ править | править код ]

Все сигналы в природе по сути аналоговые. Для цифровой обработки сигнала, хранения его и передачи в цифровом виде аналоговые сигналы предварительно оцифровываются. Оцифровка включает дискретизацию и квантование по уровню, производимую с помощью АЦП. После цифровой обработки, передачи, хранения цифровых данных, кодирующих сигнал, часто необходимо обратное преобразование цифрового образа сигнала в аналоговый сигнал. Например, звуковоспроизведение аудиозаписей с компакт-диска.

Также дискретизация применяется в системах аналоговой импульсной модуляции.

Практически восстановление аналогового сигнала по совокупности выборок производится с той или иной степенью точности, причём точность восстановления тем выше, чем выше частота дискретизации и число уровней квантования каждой выборки. Но чем больше частота дискретизации и число уровней квантования, тем больше требуется ресурсов для обработки, хранения, передачи оцифрованных данных. Поэтому частоту дискретизации и разрядность АЦП практически выбирают исходя из разумного компромисса.

Например, при цифровой передаче голоса для хорошей разборчивости речи достаточна частота дискретизации 8 кГц.

Высококачественное воспроизведение музыкальных произведений с компакт-дисков (CD) в современном стандарте производится с частотой дискретизации 44,1 кГц (CD), 48 кГц, 88,2 кГц или 96 кГц, что обеспечивает высококачественное воспроизведение звука во всей полосе слышимых частот 20 Гц — 20 кГц [2] .

Оцифровка телевизионного видеосигнала с полосой частот 6 МГц производится с частотой дискретизации свыше 10 МГц [3] .

См. также [ править | править код ]

См. также [ править | править код ]

Примечания [ править | править код ]

Преобразование непрерывного информационного множества аналоговых сигналов в дискретное множество называется дискретизацией или квантованием по уровню (ср. «Квантование по времени»). Квантование по уровню широко используется в цифровых автоматах. При квантовании по уровню производится отображение всевозможных значений величины x <displaystyle x> на дискретную область, состоящую из величин x − <displaystyle <overset <->>> уровня квантования.

8. Дискретизация и квантование измеряемых сигналов.

Аналоговый сигнал является непрерывной функцией времени, в АЦП он преобразуется в последовательность цифровых значений. Следовательно, необходимо определить частоту выборки цифровых значений из аналогового сигнала. Частота, с которой производятся цифровые значения – частота дискретизации.

Непрерывно меняющийся сигнал подвергается оцифровке (значения сигнала измеряются через интервал времени ∆Т – период дискретизации). Точность восстановления ограничена ошибкой квантования, однако в соответствии с теоремой Котельникова точное восстановление возможно только если частота дискретизации выше, чем удвоенная максимальная частота в спектре сигнала.

Таким образом, понятие оцифровка сигнала включает в себя понятия дискретизации и квантования.

Дискретизация измерения, проведенные в определенные промежутки времени (рис.12).

f дискретизации>>>fm (первой гармоники входного сигнала)

f дискретизации ≥ 2fm (по Котельникову)

∆Т (время между отсчетами) выбирается: а) в зависимости от цели; б) в зависимости от желаемого качества сигнала на выходе.

Например, частота дискретизации 44 кГц (музыкальный диск) – соответствуют стандартному качеству звука.

Дискретизация предполагает выбор отсчетов, следовательно будем использовать логический элемент «И», реализующий операцию умножения:

Генератор импульсов (тактовых сигналов, «клоков») воспроизводит сигнал приближающийся к виду дельта-функции:

Главный недостаток таких импульсов- их нестабильность.

Для того чтобы увеличить объем информации о реальном сигнале полученном после оцифровки, необходимо уменьшить шаг дискретизации.

Квантование по уровню фактически означает присвоить отсчету цифровой эквивалент или выразить результат в цифрах.

Шаг квантования может представлять собой мм, см, м и т.д., при этом ошибка может изменяться в пределах от -0,5 кванта до +0,5 кванта.

На рис (а): 1- идеальная функция преобразования (переходная характеристика идеальных АЦП и ЦАП), 2- реальная функция после квантования (имеет ступенчатый характер),

∆Q – погрешность (шаг квантования). Ошибка квантования (Шум квантования), является следствием ограниченного разрешения АЦП, составляет <+ ∆Q/2;-∆Q/2>. Из вышесказанного следует, что закон распределения- равномерный (рис. (б)). В зависимости от типа аналого-цифрового преобразования шум квантования может возникать из-за округления (до определённого разряда) сигнала или усечения (отбрасывания младших разрядов) сигнала

9. Типы и структуры ацп.

Это устройство преобразует входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал). Как правило, АЦП — электронное устройство, преобразующее напряжение в двоичный цифровой код. Разрешение АЦП характеризует количество дискретных значений, которые преобразователь может выдать на выходе. Например, АЦП, способный выдать 256 дискретных значений (0..255), имеет разрядность 8 бит (2^8=256).

Выделяют 4 основных типа АЦП:

-АЦП параллельного преобразования (флеш)

-АЦП последовательного преобразования

-АЦП двойного интегрирования

АЦП параллельного преобразования

Данный тип АЦП содержит по одному компаратору на каждый дискретный уровень входного сигнала. В любой момент времени только компараторы, соответствующие уровням ниже уровня входного сигнала, выдадут на своем выходе сигнал превышения. Сигналы со всех компараторов поступают на логическую схему, которая выдает цифровой код, зависящий от того, сколько компараторов показали превышение. Эти АЦП очень быстры, но обычно имеют разрешение не более 8 бит (256 компараторов), так как имеют большую и дорогую схему. АЦП этого типа имеют очень большой размер кристалла микросхемы, высокую входную ёмкость, и могут выдавать кратковременные ошибки на выходе. Часто используются для видео или других высокочастотных сигналов.

Читайте также:  Рукав_для_питьевой_воды

Компаратор и его характеристика представлены на рис. 15.

Uпорог.i в компараторах разное.

Схема АЦП параллельного преобразования:

.

Из схемы (рис.16): 111 на выходах ОУ дают Uоп=7 В.

Разрешение АЦП : 2^n * 0,875.

Достоинства данного АЦП:

-каждый компаратор имеет свой порог (Uпорог.);

-необходимо много компараторов;

-высокая стоимость АЦП.

АЦП последовательного счета

Этот преобразователь является типичным примером последовательных АЦП с единичными приближениями и состоит из компаратора, счетчика и ЦАП (рис. 8). На один вход компаратора поступает входной сигнал, а на другой — сигнал обратной связи с ЦАП.

Работа преобразователя начинается с прихода импульса запуска, который включает счетчик, суммирующий число импульсов, поступающих от генератора тактовых импульсов ГТИ. Выходной код счетчика подается на ЦАП, осуществляющий его преобразование в напряжение обратной связи Uос. Процесс преобразования продолжается до тех пор, пока напряжение обратной связи не сравняется со входным напряжением и переключится компаратор, который своим выходным сигналом прекратит поступление тактовых импульсов на счетчик. Переход выхода компаратора из 1 в означает завершение процесса преобразования. Выходной код, пропорциональный входному напряжению в момент окончания преобразования, считывается с выхода счетчика. Время преобразования АЦП этого типа является переменным и определяется входным напряжением. Его максимальное значение соответствует максимальному входному напряжению и при разрядности двоичного счетчика N и частоте тактовых импульсов fтакт равно

Например, при N=10 и fтакт=1 МГц tпр.макс=1024 мкс, что обеспечивает максимальную частоту выборок порядка 1 кГц. Статическая погрешность преобразования определяется суммарной статической погрешностью используемых ЦАП и компаратора. Частоту счетных импульсов необходимо выбирать с учетом завершения переходных процессов в них. При работе без устройства выборки-хранения апертурное время совпадает с временем преобразования. Как следствие, результат преобразования черезвычайно сильно зависит от пульсаций входного напряжения. При наличии высокочастотных пульсаций среднее значение выходного кода нелинейно зависит от среднего значения входного напряжения. Это означает, что АЦП данного типа без устройства выборки-хранения пригодны для работы с постоянными или медленно изменяющимися напряжениями, которые за время преобразования изменяются не более, чем на значение кванта преобразования. Таким образом, особенностью АЦП последовательного счета является небольшая частота дискретизации, достигающая нескольких килогерц. Достоинством АЦП данного класса является сравнительная простота построения, определяемая последовательным характером выполнения процесса преобразования.

АЦП двойного интегрирования

АЦП двойного интегрирования использует интегратор, за которым следует компаратор и счетная логика. Сначала вход интегратора подключается к входному сигналу, и емкость интегратора заряжается до уровня входного напряжения в той же полярности. После определенного числа тактов, вход интегратора переключается к источнику опорного напряжения, и емкость интегратора разряжается до величины этого напряжения. В тот момент, когда ключ замыкается на VREF1 (VREF — Voltage Reference — Эталонное напряжение для АЦП или напряжение сравнения для компаратора), счетчик отсчитывает столько же тактов, сколько занимало время первоначального интегрирования. Когда напряжение на выходе интегратора падает ниже величины второго опорного напряжения, выход компаратора переходит в состояние высокого логического уровня, счетчик останавливается, а значение счетчика соответствует величине входного напряжения.

Более высокое входное напряжение позволяет емкости интегратора зарядиться до большей величины в течение времени первоначального интегрирования, что приводит к большему времени разряда до VREF2, и к большему выходному значению счетчика. Меньшее значение напряжения на входе приводит к меньшему потенциалу на емкости интегратора, и, соответственно, к меньшему выходному числу. Более простой интегрирующий АЦП с одинарным интегрированием, инициирует счетчик во время зарядки емкости, и останавливает счет, когда достигнуто опорное напряжение (вместо заряда за определенное время). Однако на преобразователь с одинарным интегрированием влияют погрешности тактовой частоты.

Схема с двойным интегрированием устраняет проблемы точности синхронизации, так как один и тот же генератор тактовых импульсов применяется для задания времени зарядки емкости и для приращения (инкремента) содержимого счетчика.

Надо отметить, что кратковременное изменение — дрожание (в научной литературе называется джиттер) длительности тактовых импульсов и дрейф в течение одного преобразования будут влиять на точность результата. Преобразователь с двойным интегрированием тратит относительно длительное время на выполнение преобразования, зато присущая интегратору фильтрация устраняет шум.

Ссылка на основную публикацию
Что_сшить_из_лоскутков_ткани_своими_руками
Шитьё из обрезков разных тканей и лоскутов для начинающих Желание прикоснуться к старине, украсить интерьер пёстрыми оригинальными вещицами побуждает современных...
Чертежи_измельчителя_веток_гризли
Как изготовить садовый измельчитель веток своими руками Ветки, остающиеся после обрезки деревьев, — довольно неудобные отходы. Наваленные кучей, они занимают...
Чертежи_книжных_полок_на_стену
Идеи книжных полок, которые Вы сможете сделать самостоятельно Чтение, без сомнения, – одно из самых приятных времяпрепровождений. Но, к сожалению,...
Что_сшить_из_ткани_с_пайетками
Как шить из ткани с пайетками | Видео мастер-класс Время от времени модные изделия начинают шить из ткани с пайетками....
Adblock detector